Kapitel 2
Aussagenlogik
Jetzt beginnt der mathematische Teil der KI-Grundlagen. Aussagenlogik ist eine formale Sprache, mit der wir einfache Aussagen präzise beschreiben, verknßpfen und automatisch auswerten kÜnnen. Sie ist ein Fundament fßr symbolische KI, automatische Beweiser, Expertensysteme, digitale Schaltungsprßfung und später auch fßr stärkere Logiken wie die Prädikatenlogik.
Wichtig ist der rote Faden: Wir starten nicht direkt mit Beweisen. Zuerst klären wir, welche Formeln ßberhaupt erlaubt sind. Dann geben wir diesen Formeln Bedeutung. Danach schauen wir, wie aus Wissen neues Wissen folgt. Erst dann kommen Normalformen, Resolution, Hornklauseln und Komplexität.
Syntax: Welche Formeln sind erlaubt?
Syntax ist die Grammatik der Logik
Bevor wir fragen, ob eine Formel wahr ist, mĂźssen wir wissen, ob sie Ăźberhaupt korrekt gebaut ist. Diese Ebene heiĂt Syntax. Syntax bedeutet: Welche Zeichen und Kombinationen sind in unserer formalen Sprache erlaubt?
Wir starten mit einer Signatur. Die Signatur enthält die Aussagevariablen, also die Namen unserer atomaren Aussagen.
Signatur
Σ enthält die Aussagevariablen. A, B und C kÜnnen später fßr konkrete Aussagen stehen.
Zusätzlich gibt es die beiden Wahrheitskonstanten:
Wahrheitskonstanten
w steht fĂźr wahr. f steht fĂźr falsch.
Und es gibt logische Operatoren:
Operatoren
Damit bauen wir aus einfachen Aussagen grĂśĂere Formeln.
Negation
nicht A
Kehrt den Wahrheitswert um. Wenn A wahr ist, ist ÂŹA falsch. Wenn A falsch ist, ist ÂŹA wahr.
Konjunktion
A und B
Ist nur wahr, wenn A und B beide wahr sind.
Disjunktion
A oder B
Ist wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.
Implikation
wenn A, dann B
Ist nur falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
Ăquivalenz
A genau dann, wenn B
Ist wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben.
Klammern
A zuerst auswerten
Klammern steuern die Struktur einer Formel.
Rekursive Definition von Formeln
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln wird rekursiv aufgebaut. Das bedeutet: Wir starten mit einfachen Formeln und erzeugen daraus immer grĂśĂere Formeln.
Atomare Formeln
Wenn A in ÎŁ liegt, dann ist A eine Formel. Ebenso sind w und f Formeln.
Aufbau grĂśĂerer Formeln
So entstehen unendlich viele Formeln aus wenigen Grundbausteinen.
Mit ÎŁ = { A, B, C } sind zum Beispiel diese Formeln gĂźltig:
Beispiele
Diese Formeln sind syntaktisch korrekt, auch wenn wir noch nicht wissen, ob sie wahr sind.
An dieser Stelle sind Formeln reine Zeichenobjekte. Sie haben noch keine Bedeutung. Bedeutung kommt erst mit der Semantik.
Zwischenfrage
NOVA fragt: Kann eine Formel syntaktisch korrekt sein, aber inhaltlich noch keine Bedeutung haben?
Ja. Syntax prĂźft nur die Form. Die Bedeutung entsteht erst, wenn wir Wahrheitswerte Ăźber Belegungen festlegen.
NOVA Energie-Log
RTX-Verbrauch
NOVA schätzt hier, wie viel GPU-Energie deine Bildanalyse- und CUDA-Läufe bisher ungefähr verbraucht haben.
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