Kapitel 2
Aussagenlogik
Jetzt beginnt der mathematische Teil der KI-Grundlagen. Aussagenlogik ist eine formale Sprache, mit der wir einfache Aussagen präzise beschreiben, verknßpfen und automatisch auswerten kÜnnen. Sie ist ein Fundament fßr symbolische KI, automatische Beweiser, Expertensysteme, digitale Schaltungsprßfung und später auch fßr stärkere Logiken wie die Prädikatenlogik.
Wichtig ist der rote Faden: Wir starten nicht direkt mit Beweisen. Zuerst klären wir, welche Formeln ßberhaupt erlaubt sind. Dann geben wir diesen Formeln Bedeutung. Danach schauen wir, wie aus Wissen neues Wissen folgt. Erst dann kommen Normalformen, Resolution, Hornklauseln und Komplexität.
ErfĂźllbarkeit, Tautologie und Widerspruch
Formeln nach ihren Wahrheitswelten einteilen
Wenn wir alle mĂśglichen Belegungen betrachten, kĂśnnen wir Formeln danach einteilen, in wie vielen Welten sie wahr sind.
erfĂźllbar
Eine Formel ist erfĂźllbar, wenn sie bei mindestens einer Belegung wahr ist.
allgemeingĂźltig
Eine Formel ist allgemeingĂźltig, wenn sie bei allen Belegungen wahr ist. Solche Formeln heiĂen Tautologien.
unerfĂźllbar
Eine Formel ist unerfĂźllbar, wenn sie bei keiner Belegung wahr ist.
Tautologie
A oder nicht A ist immer wahr.
Widerspruch
A und nicht A kĂśnnen niemals gleichzeitig wahr sein.
Modelle einer Formel
Eine Belegung, die eine Formel wahr macht, heiĂt Modell dieser Formel.
Modell
Modelle sind genau die Welten, in denen eine Formel gilt.
Wenn eine Formel sehr viele Modelle hat, schränkt sie die mÜglichen Welten wenig ein. Eine Tautologie schränkt gar nichts ein. Ein Widerspruch lässt keine Welt ßbrig.
Semantische Ăquivalenz
Zwei Formeln sind semantisch äquivalent, wenn sie unter allen Belegungen denselben Wahrheitswert haben.
Semantische Ăquivalenz
F und G sind in jeder Welt gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch.
Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Objektsprache und Metasprache:
Objektsprache
Das ist eine Formel innerhalb der Aussagenlogik.
Metasprache
Das ist eine Aussage Ăźber zwei Formeln: Sie haben dieselben Wahrheitswerte.
Wichtige Ăquivalenzen
Formeln umformen wie Algebra
Diese Ăquivalenzen sind Werkzeuge. Wir verwenden sie, um Formeln in andere, aber semantisch gleiche Formen zu bringen â besonders bei der Transformation in KNF.
Implikation auflĂśsen
A â B ⥠A ⨠B
Kontraposition
A â B ⥠B â ÂŹA
Ăquivalenz
(A â B) ⧠(B â A) ⥠A â B
De Morgan 1
(A ⧠B) ⥠A ⨠B
De Morgan 2
(A ⨠B) ⥠A ⧠B
Distributiv 1
A ⨠(B ⧠C) ⥠(A ⨠B) ⧠(A ⨠C)
Distributiv 2
A ⧠(B ⨠C) ⥠(A ⧠B) ⨠(A ⧠C)
Tautologie
A ⨠A ⥠w
Widerspruch
A ⧠A ⥠f
Neutrales Element
A ⧠w ⥠A
Zwischenfrage
NOVA fragt: Warum ist A ⨠A logisch leer, aber trotzdem immer wahr?
Weil es keine Welt ausschlieĂt. Egal ob A wahr oder falsch ist, die Formel bleibt wahr.
NOVA Energie-Log
RTX-Verbrauch
NOVA schätzt hier, wie viel GPU-Energie deine Bildanalyse- und CUDA-Läufe bisher ungefähr verbraucht haben.
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