Kapitel 2
Aussagenlogik
Jetzt beginnt der mathematische Teil der KI-Grundlagen. Aussagenlogik ist eine formale Sprache, mit der wir einfache Aussagen präzise beschreiben, verknßpfen und automatisch auswerten kÜnnen. Sie ist ein Fundament fßr symbolische KI, automatische Beweiser, Expertensysteme, digitale Schaltungsprßfung und später auch fßr stärkere Logiken wie die Prädikatenlogik.
Wichtig ist der rote Faden: Wir starten nicht direkt mit Beweisen. Zuerst klären wir, welche Formeln ßberhaupt erlaubt sind. Dann geben wir diesen Formeln Bedeutung. Danach schauen wir, wie aus Wissen neues Wissen folgt. Erst dann kommen Normalformen, Resolution, Hornklauseln und Komplexität.
Folgerung: Aus Wissen neues Wissen ziehen
Wissensbasis und Anfrage
In der KI wollen wir nicht nur Formeln auswerten. Wir wollen aus vorhandenem Wissen neues Wissen ableiten. Dazu verwenden wir eine Wissensbasis und eine Anfrage.
Wissensbasis
WB enthält das Wissen des Systems, zum Beispiel Regeln und Fakten.
Anfrage
Q ist das, was wir wissen oder beweisen wollen.
Beispiel: Eine Wissensbasis kĂśnnte enthalten, dass es regnet und dass Regen nasse StraĂen verursacht. Die Anfrage kĂśnnte lauten: Ist die StraĂe nass?
Semantische Folgerung
Eine Formel Q folgt aus einer Wissensbasis WB, wenn jede Welt, die WB wahr macht, auch Q wahr macht.
Folgerung
Alle Modelle von WB sind auch Modelle von Q.
Das bedeutet: Es gibt keine Welt, in der die Wissensbasis stimmt, aber die Anfrage falsch ist.
Deduktionstheorem
Der Zusammenhang zwischen Folgerung und Implikation ist besonders wichtig:
Deduktionstheorem
B folgt aus A genau dann, wenn A â B eine Tautologie ist.
Warum? Die Implikation A â B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Wenn B aber aus A folgt, kann genau diese kritische Welt nicht existieren.
Widerspruchsbeweis
FĂźr automatische Beweise ist der Widerspruchsbeweis noch praktischer:
Widerspruchsbeweis
Wenn WB zusammen mit der negierten Anfrage unmĂśglich ist, muss Q aus WB folgen.
Das Verfahren klingt zunächst indirekt, ist aber extrem nßtzlich: Wir nehmen an, Q sei falsch. Wenn diese Annahme zusammen mit der Wissensbasis zu einem Widerspruch fßhrt, dann muss Q wahr sein.
Syntaktische Ableitung und semantische Folgerung
Bisher war ⨠semantisch: Wir sprechen ßber alle mÜglichen Welten. Automatische Beweiser arbeiten aber oft syntaktisch: Sie manipulieren Formeln nach festen Regeln.
Syntaktische Ableitung
Q kann durch einen KalkĂźl aus WB hergeleitet werden.
Ein KalkĂźl soll zwei Eigenschaften haben:
korrekt
Wenn der KalkĂźl Q ableitet, dann folgt Q auch wirklich semantisch aus WB. Der KalkĂźl produziert keine falschen Folgerungen.
vollständig
Wenn Q semantisch aus WB folgt, dann kann der KalkĂźl Q auch ableiten. Der KalkĂźl Ăźbersieht nichts.
Zwischenfrage
NOVA fragt: Warum braucht ein KI-Beweiser Korrektheit und Vollständigkeit?
Korrektheit verhindert falsche Schlßsse. Vollständigkeit verhindert, dass wahre Folgerungen ßbersehen werden.
NOVA Energie-Log
RTX-Verbrauch
NOVA schätzt hier, wie viel GPU-Energie deine Bildanalyse- und CUDA-Läufe bisher ungefähr verbraucht haben.
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