Kapitel 2
Aussagenlogik
Jetzt beginnt der mathematische Teil der KI-Grundlagen. Aussagenlogik ist eine formale Sprache, mit der wir einfache Aussagen präzise beschreiben, verknßpfen und automatisch auswerten kÜnnen. Sie ist ein Fundament fßr symbolische KI, automatische Beweiser, Expertensysteme, digitale Schaltungsprßfung und später auch fßr stärkere Logiken wie die Prädikatenlogik.
Wichtig ist der rote Faden: Wir starten nicht direkt mit Beweisen. Zuerst klären wir, welche Formeln ßberhaupt erlaubt sind. Dann geben wir diesen Formeln Bedeutung. Danach schauen wir, wie aus Wissen neues Wissen folgt. Erst dann kommen Normalformen, Resolution, Hornklauseln und Komplexität.
Semantik: Wahrheitswerte und Welten
Semantik gibt Formeln Bedeutung
Die Syntax sagt nur, welche Formeln korrekt gebaut sind. Die Semantik sagt, wann eine Formel wahr oder falsch ist. In der klassischen Aussagenlogik gibt es genau zwei Wahrheitswerte:
Wahrheitswerte
w bedeutet wahr. f bedeutet falsch.
Ob eine zusammengesetzte Formel wie A ⧠B wahr ist, hängt davon ab, ob A und B wahr sind. Dafßr brauchen wir eine Belegung.
Belegung / Interpretation / Welt
Eine Belegung ordnet jeder Aussagevariable einen Wahrheitswert zu.
Man kann eine Belegung als mĂśgliche Welt verstehen. In einer Welt regnet es, in einer anderen nicht. In einer Welt ist es kalt, in einer anderen nicht.
Beispiel mit Wetter
Variablen
A und B sind Aussagevariablen.
Formel
Diese Formel ist genau dann wahr, wenn es regnet und kalt ist.
Wenn eine Belegung A auf wahr und B auf wahr setzt, dann ist A ⧠B wahr. Wenn B aber fĂźr âEs ist heiĂ heuteâ steht und falsch ist, dann wird A ⧠B falsch.
Wie viele Welten gibt es?
Jede Aussagevariable kann wahr oder falsch sein. Bei einer Variable gibt es zwei MĂśglichkeiten. Bei zwei Variablen gibt es vier MĂśglichkeiten. Bei n Variablen gibt es:
Anzahl der Belegungen
Jede zusätzliche Variable verdoppelt die Zahl der mÜglichen Welten.
Das ist mathematisch elegant, aber praktisch gefährlich: Wahrheitstabellen wachsen sehr schnell.
Wahrheitstabelle
Operatoren vollständig ausrechnen
Bei zwei Variablen A und B gibt es vier mĂśgliche Belegungen. FĂźr jede Belegung definieren wir, welchen Wahrheitswert die zusammengesetzten Formeln haben.
| A | B | ÂŹA | A ⧠B | A ⨠B | A â B | A â B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w | w | w |
| w | f | f | f | w | f | f |
| f | w | w | f | w | w | f |
| f | f | w | f | f | w | w |
Besonders wichtig ist die Implikation. A â B ist nur in einer einzigen Zeile falsch: wenn A wahr und B falsch ist. Genau diese Zeile ist später bei Folgerung und Beweisen entscheidend.
Operator-Priorität
Wenn eine Formel Klammern enthält, werden die Klammern zuerst ausgewertet. Ohne Klammern gilt typischerweise folgende Bindungsstärke:
Priorität
Negation bindet am stärksten, Ăquivalenz am schwächsten.
Trotzdem gilt im AI-Lab: Wenn eine Formel unklar aussieht, klammern wir lieber. Klammern machen die Struktur sichtbar.
NOVA rechnet
NOVA fragt: Warum werden Wahrheitstabellen bei vielen Variablen schnell unpraktisch?
Weil bei n Variablen 2âż Belegungen geprĂźft werden mĂźssen. Bei 20 Variablen sind das schon Ăźber eine Million Welten.
NOVA Energie-Log
RTX-Verbrauch
NOVA schätzt hier, wie viel GPU-Energie deine Bildanalyse- und CUDA-Läufe bisher ungefähr verbraucht haben.
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